はじめに：本日の授業内容
本日は２つのクラスを担当しました。
【朝８：３０～】複素数平面演習では、α⁵＝1 となる五乗根の求め方を中心に、複素数をベクトル的にイメージするトレーニングを行いました。
【１２：５０～１４：１０】図形と方程式演習では、円と直線の交点を結んだ三角形の面積最大化問題や、直線と円の距離公式を応用した演習を実施し、図形的センスと計算力を両立させました。
どちらのクラスも、初めて触れる内容に苦手意識を抱えていましたが、朝から集中を切らさず学習に臨む姿勢が印象的でした。
塾長は難関中高一貫校で10年以上勤務し、何百人もの生徒を東大・京大・医学部へ送り出してきた敏腕講師です。
豊富な指導経験を活かし、生徒一人ひとりの課題に最適化されたサポートを提供しています。
課題：複素数平面における五乗根の理解
高卒生クラスでは、複素数α（α≠1）の五乗根を求める文章題を扱いました。 生徒は「α⁵＝1」という根の公式を前に、どうして複素数には解が5つあるのか、極形式やオイラーの公式を使った複素数表示が理解できず戸惑っていました。
特にド・モアブルの定理による誘導や因数分解「α⁵−1＝(α−1)(α⁴＋α³＋α²＋α＋1)」の意味、単位円上での位相を利用した波動・振動への応用について、解法の全体像をつかめない状態でした。
この理解が不足すると、複素数平面の応用だけでなく、波動・振動やド・モアブルの定理に基づく根の公式の応用範囲が大きく制限されます。極形式や単位円、誘導の手法まで含めた基礎理解の徹底が最重要ポイントです。
授業の様子：幾何的処理で図形を読む
高校３年生の図形と方程式クラスでは、
座標に頼る前の幾何的処理を徹底しました。
問題は円 x2+y2=r2と直線 y=mx+b の交点を結んだ
三角形の面積を読み解く演習でした。
まず、弦の長さが中心角 θに応じて
2r sin θで表せることを確認。
さらに円周角の定理を用いて、弦が直径に対して直角を成す性質を図示しました。
続いて、相似比を活用し
座標変換前に「式⇔図形」の対応を直感的に理解する練習を実践。
これにより、生徒たちは視認性の高い図解で理解度を深め、単位円の概念を応用した面積計算がスムーズに行えるようになりました。
ノート：幾何的処理の見える化
Kさんのノートには、幾何的処理の過程が細かく記録されています。
まず円周に対応する中心角θと弦の長さを示す小さな円弧図を描き、θ→2r·sin θへの流れを矢印付きで整理しています。
隣には円周角の定理：半円を底辺とする弦は直角を成すという要点を赤字で強調し、具体例として直径を底辺とした直角三角形も併記。
さらに、相似三角形を用いた面積比の見積もりについて、自作の△ABCと相似図形△A′B′C′を並べ、比率を色分けして面積比＝(辺比)²を視覚的に確認しています。
座標を使わずに面積の大まかな大きさをつかむ手順が一目でわかるため、授業後の復習時にも「まず図形を読む→次に式へ」という流れをスムーズに思い出せるノートになっています。
変化とこれから
幾何的処理を体得したKさんは、図形の観察から式への展開がスムーズになりました。
初回は「座標を使わないと面積が出せない」と思い込んでいましたが、今ではノートの円弧図と相似三角形の色分けを見返しながら
「まず図形の性質を使って大まかな面積を予想→式で精算」という流れを自力で説明できます。
この結果、図形と方程式の問題に対する苦手意識が大きく軽減し、Kさんは「どこに着目すればいいか」が明確になった喜びを語っています。
今後は「直線と放物線」や「三角形の分割比」など、より複雑な図形問題にも同じ幾何的アプローチを応用し、
最終的には座標処理と演習を組み合わせて解答スピードと正確性を高めることを目指します。
まとめ＆無料体験案内
図形と方程式、複素数平面はどちらも解法手順を覚えるだけでなく、
問題の本質を図形的に捉える力がポイントです。Kさんのように、幾何的処理で図形の要点を押さえ、
座標／代数で精算するアプローチを身につけると、応用問題でも迷わず解答できます。
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